矩阵乘法在很多题目中都有显著的应用，在一些递推、计算几何和其他可以用矩阵表示元素操作的题目中，可以借助快速幂的思想优化不少时间。

1.加速递推

最著名的递推当属Fibonacci数列了。
\(
f[0]=f[1]=1
f[n]=f[n-1]+f[n-2]
\)

朴素的递推需要O(n)的时间（应该没人写递归吧……

如果采用矩阵快速幂

\(
\begin{bmatrix}
f(n+1) \\
f(n)
\end{bmatrix}
=
(\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix})^{n}
\cdot
\begin{bmatrix}
1 \\
1
\end{bmatrix}
\)
其中矩阵乘法可以采用快速幂的思想加速运算（矩阵乘法满足结合律）

稍稍复杂的例子还有

http://wikioi.com/problem/1281/

http://acm.buaa.edu.cn/problem/653/

……等等很多

2.计算几何

example：via http://www.matrix67.com/blog/archives/276/

 给定n个点，m个操作，构造O(m+n)的算法输出m个操作后各点的位置。操作有平移、缩放、翻转和旋转
这里的操作是对所有点同时进行的。其中翻转是以坐标轴为对称轴进行翻转（两种情况），旋转则以原点为中心。如果对每个点分别进行模拟，那么m个操作总共耗时O(mn)。利用矩阵乘法可以在O(m)的时间里把所有操作合并为一个矩阵，然后每个点与该矩阵相乘即可直接得出最终该点的位置，总共耗时O(m+n)。假设初始时某个点的坐标为x和y，下面5个矩阵可以分别对其进行平移、旋转、翻转和旋转操作。预先把所有m个操作所对应的矩阵全部乘起来，再乘以(x,y,1)，即可一步得出最终点的位置。

3.……以及其他

example：黑书p205细菌、VOJ1049序列置换、有向图方案数……

顺次给出m个置换，反复使用这m个置换对初始序列进行操作，问k次置换后的序列。m<=10, k<2^31。
首先将这m个置换“合并”起来（算出这m个置换的乘积），然后接下来我们需要执行这个置换k/m次（取整，若有余数则剩下几步模拟即可）。注意任意一个置换都可以表示成矩阵的形式。例如，将1 2 3 4置换为3 1 2 4，相当于下面的矩阵乘法：

置换k/m次就相当于在前面乘以k/m个这样的矩阵。我们可以二分计算出该矩阵的k/m次方，再乘以初始序列即可。做出来了别忙着高兴，得意之时就是你灭亡之日，别忘了最后可能还有几个置换需要模拟。

 给定一个有向图，问从A点恰好走k步（允许重复经过边）到达B点的方案数mod p的值
把给定的图转为邻接矩阵，即A(i,j)=1当且仅当存在一条边i->j。令C=A*A，那么C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，实际上就等于从点i到点j恰好经过2条边的路径数（枚举k为中转点）。类似地，C*A的第i行第j列就表示从i到j经过3条边的路径数。同理，如果要求经过k步的路径数，我们只需要二分求出A^k即可。

4.模版

模版代码来源于http://blog.csdn.net/u010153200/article/details/8974369

若w[a,c]+w[b,d] \(\leq\) w[b,c]+w[a,d] (a<b<c<d)

则w满足凸四边形不等式

若w[i,j] \(\leq\) w[i,j] ([i,j]\(\subseteq\) [i',j'])

则w满足区间单调

2D/1D:d[i,j]=opt{d[i,k-1]+d[k,j]}+w[i,j] (1 \(\leq\) i < k \(\leq\) j \(\leq\) n)

d满足凸四边形不等式 k[i,j-1] \(\leq\) k[i,j] \(\leq\) k[i+1,j]

w为凸 \(\Leftrightarrow\) w[i,j]+w[i+1,j+1] \(\leq\) w[i+1,j]+w[i,j+1]

1D/1D:f[i]=opt{f[j]+w[j,i]} (b[i] \(\leq\) j \(\leq\) i-1)

满足决策单调性，可用单调队列优化决策