[Dr.Lib]Note:Math – 小技巧们 I


有一正三棱锥P-ABC,O为底面ABC中心。过O做动平面QRS,交PA或其延长线于Q,交PB或其延长线于R,交PC或其延长线于S。
那么\(\frac{1}{PQ}+\frac{1}{PR}+\frac{1}{PS}\)()
A 为定值
B 有最大值无最小值
C 有最小值无最大值
D 既无最大值也无最小值

看到这题,我的第一反应是想想GB的《颠倒过来的式子》,不过貌似里面没有这题。当时觉得变形之后也无明显的意义。这时老师提示了一 步:小题,先降维看看。

有一等腰三角形PBC,O为底边BC中点。过O做直线QR,交PB于R,交PC于S。考察\(\frac{1}{PR}+\frac{1}{PS}\)。
\(\frac{1}{PR}+\frac{1}{PS}\)=\(\frac{PR+PS}{PR*PS}\)。有什么想法吗?
算两次:等面积法。设等腰三角形顶角为\(  \alpha \)腰与O点距离为\(  d \)

\(  SPQR=\frac{PS*PR*sin\alpha }{2} \)

\(  SPQR=\frac{d(PS+PR) }{2}\)

\(\frac{1}{PR}+\frac{1}{PS}=\frac{sin\alpha}{d}\)

三维的情况就很好推广了~

PS:某颜正熙同学提出可以用梅氏定理证二维的情况, Orz