[Dr.Lib]Note:Math – Elegant Proof II

北京数竞 1957

平面上任取三个格点, 试证:它们不能是正三角形三个顶点

证明:

设三个点分别为\(  A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3})\)则
\( S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}\
x_1&y_1 &1 \\
x_2&y_2 &1 \\
x_3&y_3 &1 \
\end{Vmatrix}\)为有理数,而

\( S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2)\)为无理数,矛盾。

49th Moscow MO 1986

求证:对于实数\(x,y,z\),以下三个式子不可能同时成立。

\( \left | x \right | < \left | y-z \right | , \left | y \right | < \left | z-x \right |, \left | z \right | < \left | x-y \right | \)

证明:

反证法。若三式全部成立,有

\[\left\{\begin{matrix}x^2<(y-z)^2 \
\\ y^2<(z-x)^2
\\ z^2<(x-y)^2 \
\end{matrix} \right. \
\rightarrow \left\{\begin{matrix}(x-y+z)(x+y-z)<0 \
\\ (y-z+x)(y+z-x)<0
\\ (z-x+y)(z+x-y)<0 \
\end{matrix}\right.\]

三式相乘

\(((x+y-z)(y+z-x)(z+x-y))^2<0\)矛盾。

St.Petersburg MO 1988

是否存在两个不等于0的整数\(x,y\),满足其中之一可被它们的和整除,另一个可被差整除?

解答:

不存在。

否则,\(\left |x+y \right |\)、\(\left |x-y \right |\) 必有一个既大于x又大于y。它不可能是\(x\)或\(y\)的约数,矛盾。

 

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