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今天我们来介绍一个曾经在数列题中做过无数遍的数列\(a_{n}=\frac{1}{n^{2}}\)，为了方便下文的讨论，我们记\(S_{n}\)为数列\(a_{n}\)的前\(n\)项和。我们做过最熟悉的题目莫过于证明\(S_{n}<2\)，这个证明对于大家来说应该是非常容易的\[S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^{2}}=1+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{i\cdot\left(i-1 \right )}=2-\frac{1}{n}.\]

那么大家是否考虑过，\(\lim_{n \to \infty }S_{n}\)究竟等于多少？我记得严桂华讲过欧拉曾经计算过这个问题，今天在国外一个数学讨论网站上翻到了一篇关于如何计算\(\lim_{n \to \infty }S_{n}\)的问答（原文地址）。在此仅介绍几种方法。

首先给出结果，再用多种方法进行证明\[\lim_{n \to \infty }S_{n}=\frac{\pi^{2}}{6}.\]不得不说，这一结果是非常不可思议的，因为它居然包含了\(\pi\)。读者如果不相信的话，可以自行计算一下，当\(n\)趋向于正无穷时，答案便越接近\(\frac{\pi^{2}}{6}\)。

好了，废话不说，我们进入证明部分。

法一：

当\(0<x<\frac{\pi}{2}\)时，有\(0<\sin{x}<x<\tan{x}\)。至于这个命题的证明，请参考下图：

这样，我们可以得到\[\frac{1}{\tan^{2}{x}}<\frac{1}{x^{2}}<\frac{1}{\sin^{2}{x}}.\]我们知道，\(\frac{1}{\tan^{2}{x}}=\frac{1}{\sin^{2}{x}}-1\)（很容易由三角恒等式导出）。将区间\(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)等分成\(2^{n}\)个部分，令\(x_{k}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{k}{2^{n}}\)，并将不等式两边对\(x_{k}\)进行求和，可以得到\[\sum_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{\sin^2 x_k} – \sum_{k=1}^{2^n-1} 1 < \sum_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{x_k^2} < \sum_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{\sin^2 x_k}.\]我们不妨将不等式右边的表达式记为\(T_{n}\)，那么原不等式可以化简为\[T_{n} – \left(2^n – 1\right) < \sum_{k=1}^{2^n-1} \left( \frac{2 \cdot 2^n}{\pi} \right)^2 \frac{1}{k^2} < T_n.\]接下来我们主要考察\(T_{n}\)。它看起来是一个非常复杂的求和，实际上可以非常简单的计算出来。首先，我们考虑下面的式子\[\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\sin^2 (\frac{\pi}{2}-x)} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x \cdot \sin^2 x} = \frac{4}{\sin^2 2x}.\]因此，如果我们将\(T_{n}\)以\(\frac{\pi}{4}\)为中点进行配对（选取区间\(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)左边的点\(x_{k}\)，与右边的点\(\frac{\pi}{2}-x_{k}\)），考虑递推，再加上中点\(\frac{1}{\sin^{2}{\frac{\pi}{4}}}=2\)，则可以得到\[T_{n}=4T_{n-1}+2.\]又\(T_{1}=2\)，我们可以很容易的得到\(T_{n}\)的通项公式\[T_n = \frac{2(4^n-1)}{3}.\]于是，我们得到了这样的不等式\[\frac{2(4^n-1)}{3} – (2^n-1) \leq \frac{4^{n+1}}{\pi^2} \sum_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{k^2} \leq \frac{2(4^n-1)}{3}.\]两边同时乘以\(\frac{\pi^{2}}{4^{n+1}}\)使得不等式的中间与我们的目标形式更加相似，这样我们又得到一个不等式\[\frac{\pi^{2}}{4^{n+1}} \cdot \frac{2(4^n-1)}{3} – (2^n-1) \leq \sum_{k=1}^{2^n-1} \frac{1}{k^2} \leq\frac{\pi^{2}}{4^{n+1}} \cdot \frac{2(4^n-1)}{3}.\]当\(n\rightarrow\infty\)时，不等式左右两边同时趋向于\(\frac{\pi^{2}}{6}\)，由夹逼准则得\(\lim_{n \to \infty }S_{n}=\frac{\pi^{2}}{6}\)。证毕。

法二：

我们可以借助函数\(f\left(x\right)=x^{2},x\in\left[-\pi,\pi\right]\)来找到它对应的三角傅立叶级数\[\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin x),\]且它是周期收敛的。

又\(f\left(x\right)\)为偶函数，这足够让我们得到它的系数\[a_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nx\;dx\qquad n=0,1,2,3,\cdots,\]因为\[b_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nx\;dx=0\qquad n=1,2,3,\cdots.\]令\(n=0\)得\[a_{0}=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x^{2}dx=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi}x^{2}dx=\frac{2\pi ^{2}}{3}.\]当\(n=1,2,3,\cdots\)时，我们有\[a_{n}=\frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx\\=\frac{2}{\pi }\int_{0}^{\pi }x^{2}\cos nx\;dx=\frac{2}{\pi }\times \frac{2\pi }{n^{2}}(-1)^{n}=(-1)^{n}\frac{4}{n^{2}},\]因为\[\int x^2\cos nx\;dx=\frac{2x}{n^{2}}\cos nx+\left( \frac{x^{2}}{n}-\frac{2}{n^{3}}\right) \sin nx.\]因此\[f(x)=\frac{\pi ^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( (-1)^{n}\frac{4}{n^{2}}\cos nx\right).\]又\(f\left(\pi\right)=\pi^{2}\)，我们可以得到\[\pi ^{2}=\frac{\pi ^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( (-1)^{n}\frac{4}{n^{2}}\cos \left( n\pi \right) \right)\]即\[\pi ^{2}=\frac{\pi ^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty }\left( (-1)^{n}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2}}\right)\]进一步化简得\[\pi ^{2}=\frac{\pi ^{2}}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}.\]因此\[\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi ^{2}}{4}-\frac{\pi ^{2}}{12}=\frac{\pi ^{2}}{6}.\]证毕。

法三：

当\(x=0\)时\(\sin{x}\)可以使用泰勒级数展开\[\sin x = x – \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots.\]于是我们可以得到\[\frac{x^3}{3!}=x\left(\frac{x^2}{\pi^2} + \frac{x^2}{2^2\pi^2}+ \frac{x^2}{3^2\pi^2}+\cdots\right)=x^3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2\pi^2},\]即\[\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.\]证毕。

法四：

设\(z\)为复数，考虑\[\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(z-n)^2}\]由复变函数分析可得\[\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}-\frac{1}{z^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(z-n)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(z+n)^2}.\]这样，当右边\(z=0\)时，我们就可以得到\[\lim_{z\to 0}\left(\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}-\frac{1}{z^2}\right)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.\]又\[\lim_{z\to 0}\left(\frac{\pi^2}{\sin^2\pi z}-\frac{1}{z^2}\right)=\frac{\pi^2}{3}.\]因此\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.\]证毕。

法五：

这是欧拉的方法。令\[s=\sin^{-1}{x}.\]那么\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sds=\frac{\pi^{2}}{8}.\]但是\[\int\limits_0^1 {\frac{{{{\sin }^{ – 1}}x}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}dx} = \frac{{{\pi ^2}}}{8}.\]又\[{\sin ^{ – 1}}x = \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}} = x + \frac{1}{2}\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 4}}\frac{{{x^5}}}{5} + \frac{{1 \cdot 3 \cdot 5}}{{2 \cdot 4 \cdot 6}}\frac{{{x^7}}}{7} + \cdots.\]我们可以得到\[\int\limits_0^1 {\left\{ {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}} } \right\}} = \int\limits_0^1 {\left\{ {x + \frac{1}{2}\frac{{{x^3}}}{3}\frac{{dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }} + \frac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 4}}\frac{{{x^5}}}{5}\frac{{dx}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }} + \cdots } \right\}}.\]但是\[\int\limits_0^1 {\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}dx} = \frac{{2n}}{{2n + 1}}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^{2n – 1}}}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}dx}.\]这样，可以得到\[\int\limits_0^1 {\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{\sqrt {1 – {x^2}} }}dx} = \frac{{\left( {2n} \right)!!}}{{\left( {2n + 1} \right)!!}}.\]又所有的次数都是奇数，所以最终的结果为\[\frac{{{\pi ^2}}}{8} = 1 + \frac{1}{2}\frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3}} \right) + \frac{{1 \cdot 3}}{{2 \cdot 4}}\frac{1}{5}\left( {\frac{{2 \cdot 4}}{{3 \cdot 5}}} \right) + \frac{{1 \cdot 3 \cdot 5}}{{2 \cdot 4 \cdot 6}}\frac{1}{7}\left( {\frac{{2 \cdot 4 \cdot 6}}{{3 \cdot 5 \cdot 7}}} \right) \cdots,\]\[\frac{{{\pi ^2}}}{8} = 1 + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{5^2}}} + \frac{1}{{{7^2}}} + \cdots.\]令\[1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \cdots = \omega.\]则\[\frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{4^2}}} + \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{8^2}}} + \cdots = \frac{\omega }{4}.\]这样，我们可以得到\[\frac{\omega }{4} + \frac{{{\pi ^2}}}{8} = \omega.\]即\[\omega = \frac{{{\pi ^2}}}{6}.\]证毕。

法六：

\[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^{2}}=\zeta(2)=\frac{4}{3}\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{4}{3}\int_{0}^{1}\frac{\log y}{y^2-1}dy\]\[=\frac{2}{3}\int_{0}^{1}\frac{1}{y^2-1}\left[\log\left(\frac{1+x^2 y^2}{1+x^2}\right)\right]_{x=0}^{+\infty}dy=\frac{4}{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{+\infty}\frac{x}{(1+x^2)(1+x^2 y^2)}dx\,dy\]
\[=\frac{4}{3}\int_{0}^{1}\int_{0}^{+\infty}\frac{dx\, dz}{(1+x^2)(1+z^2)}=\frac{4}{3}\cdot\frac{\pi}{4}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi^2}{6}.\]证毕。

就介绍这几种方法吧，大家可以有选择的进行阅读。以后数学作业中再有证明\(S_{n} < 2\)的时候，不妨这样写\(\lim_{n \to \infty }S_{n}=\frac{\pi}{6} < 2\)，怕老师不承认，可以顺便证明一下，至于给不给分，就不好说了。