北京数竞 1957
平面上任取三个格点， 试证：它们不能是正三角形三个顶点
证明：
设三个点分别为\( A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),C(x_{3},y_{3})\)则
\( S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\begin{Vmatrix}\
x_1&y_1 &1 \\
x_2&y_2 &1 \\
x_3&y_3 &1 \
\end{Vmatrix}\)为有理数，而
\( S_{\Delta ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2)\)为无理数，矛盾。
49th Moscow MO 1986
求证：对于实数\(x,y,z\)，以下三个式子不可能同时成立。
\( \left | x \right | < \left | y-z \right | , \left | y \right | < \left | z-x \right |, \left | z \right | < \left | x-y \right | \)
证明：
反证法。若三式全部成立，有
\[\left\{\begin{matrix}x^2<(y-z)^2 \
\\ y^2<(z-x)^2
\\ z^2<(x-y)^2 \
\end{matrix} \right. \
\rightarrow \left\{\begin{matrix}(x-y+z)(x+y-z)<0 \
\\ (y-z+x)(y+z-x)<0
\\ (z-x+y)(z+x-y)<0 \
\end{matrix}\right.\]
三式相乘
\(((x+y-z)(y+z-x)(z+x-y))^2<0\)矛盾。
St.Petersburg MO 1988
是否存在两个不等于0的整数\(x,y\)，满足其中之一可被它们的和整除，另一个可被差整除？
解答：
不存在。
否则，\(\left |x+y \right |\)、\(\left |x-y \right |\) 必有一个既大于x又大于y。它不可能是\(x\)或\(y\)的约数，矛盾。
[Dr.Lib]Note:Math – Elegant Proof II by Liqueur Librazy is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License.